Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm (O;R). Vẽ hai đường cao BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại H. DE cắt đường tròn (O) tại P và Q (P thuộc cung nhỏ AB).
a) C/m tứ giác BEDC nội tiếp, xác định tâm
b) C/m BH.DH = EH.HC
c) C/m tam giác APQ cân tại A và AP2 = AE.AB
d) Gọi S1 là diện tích tam giác APQ, S2 là diện tích tam giác ABC. Giả sử: \(\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{PQ}{2BC}\). Tính BC theo R
d) Gọi OA cắt ED ở K.Dễ dàng chứng minh \(AK\perp ED\)( đã cm trong các câu trên ). Kẻ AH cắt BC ở M
\(\dfrac{S_{APQ}}{S_{ABC}}=\dfrac{AK.PQ}{AM.BC}=\dfrac{PQ}{2BC}\Rightarrow AM=2AK\)
Mà \(\Delta AED\)~\(\Delta ACB\)(c.g.c),AK,AM là 2 đường cao tương ứng
\(\Rightarrow\dfrac{C_{AED}}{S_{ABC}}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{ED}{BC}=\dfrac{1}{2}\)
Để ý rằng \(\Delta ABD\) vuông ở D có AB=2AD \(\Rightarrow\widehat{BAC}=60^o\)và dễ thấy tam giác ABC phải cân ---> tam giác ABC đều .
Kẻ \(ON\perp BC\) ,ta tính được \(BC=\sqrt{3}R\)