Question

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, kẻ đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Trên các đoạn thẳng HB và HC lần lượt lấy các điểm tương ứng M và N sao cho các góc AMC và góc ANB bằng nhau. Chứng minh rằng: tam giác AMN cân tại A.

Answer 1

Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có

góc BAD chung

Do đó: ΔADB đồng dạng với ΔAEC

Suy ra: AD/AE=AB/AC

hay \(AD\cdot AC=AB\cdot AE\left(1\right)\)

Xét ΔAMC vuông tại M có MD là đường cao

nên \(AD\cdot AC=AM^2\left(2\right)\)

Xét ΔANB vuông tai N có NE là đường cao

nên \(AE\cdot AB=AN^2\left(3\right)\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra AM=AN

hay ΔAMN cân tại A