Lời giải:
Kẻ \(BE\perp AC(E\in AC)\)
Khi đó \(\sin A=\frac{BE}{c}\Rightarrow \frac{a}{\sin A}=\frac{ac}{BE}\)
Mặt khác, \(S_{ABC}=\frac{BE.b}{2}\Rightarrow BE=\frac{2S_{ABC}}{b}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{\sin A}=\frac{abc}{2S_{ABC}}\). Hoàn toàn tương tự với \(\frac{b}{\sin B},\frac{c}{\sin C}\) ta có:
\(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=\frac{abc}{2S_{ABC}}\) (đpcm)
Gọi O là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, D là trung điểm của BC, ta có:
\(OD\perp BC\)
\(OB=R;BD=\dfrac{1}{2}a\)
\(\widehat{BOD}=\widehat{A}\) (A là góc nội tiếp chắn cung BC, Ở là góc tâm chắn \(\dfrac{1}{2}\) cung BC)
Trong tam giác vuông DOB ta có:
\(sin\left(DOB\right)=\dfrac{BD}{OB}\)
\(\Rightarrow sinA=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a}{R}\Rightarrow\dfrac{a}{sinA}=2R\)
Chứng minh tương tự ta có:
\(\dfrac{a}{sinA}=\dfrac{b}{sinB}=\dfrac{c}{sinC}\)
Kẻ AH, BE là đường cao của tam giác ABC.
Xét tam giác ABH vuông tại H có:
\(\sin B=\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{AH}{c}\) (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
\(\Rightarrow AH=c.\sin B\) (1)
Xét tam giác ACH vuông tại H có:
\(\sin C=\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{AH}{b}\) (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
\(\Rightarrow AH=b.\sin C\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow c.\sin B=b.\sin C\)
\(\Rightarrow\dfrac{c}{\sin C}=\dfrac{b}{\sin B}\) (3)
Xét tam giác ABE vuông tại E có:
\(\sin A=\dfrac{BE}{AB}=\dfrac{BE}{c}\) (tỉ số lượng giác)
\(\Rightarrow BE=c.\sin A\) (4)
Xét tam giác BEC vuông tại E có:
\(\sin C=\dfrac{BE}{BC}=\dfrac{BE}{a}\) (tỉ số lượng giác)
\(\Rightarrow BE=a.\sin C\) (5)
Từ (4) và (5) \(\Rightarrow c.\sin A=a.\sin C\)
\(\Rightarrow\dfrac{c}{\sin C}=\dfrac{a}{\sin A}\) (6)
Từ (3) và (6) \(\Rightarrow\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}\)