a) Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{ABD}=180^0\)(hai góc kề bù)
\(\widehat{ACB}+\widehat{ACE}=180^0\)(hai góc kề bù)
mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)
nên \(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)
Xét ΔABD và ΔACE có
AB=AC(ΔABC cân tại A)
\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)(cmt)
BD=CE(gt)
Do đó: ΔABD=ΔACE(c-g-c)
⇒AD=AE(hai cạnh tương ứng)
Xét ΔADE có AD=AE(cmt)
nên ΔADE cân tại A(định nghĩa tam giác cân)
b) Ta có: ΔADE cân tại A(cmt)
⇒\(\widehat{ADE}=\widehat{AED}\)(hai góc ở đáy)
hay \(\widehat{HDB}=\widehat{KEC}\)
Xét ΔHBD vuông tại H và ΔKCE vuông tại K có
BD=CE(gt)
\(\widehat{HDB}=\widehat{KEC}\)(cmt)
Do đó: ΔHBD=ΔKCE(cạnh huyền-góc nhọn)
⇒BH=CK(hai cạnh tương ứng)
c) Ta có: ΔHBD=ΔKCE(cmt)
⇒\(\widehat{HBD}=\widehat{KCE}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{IBC}=\widehat{HBD}\)(hai góc đối đỉnh)
và \(\widehat{ICB}=\widehat{KCE}\)(hai góc đối đỉnh)
nên \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)
Xét ΔIBC có \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)(cmt)
nên ΔIBC cân tại I(định lí đảo của tam giác cân)
⇒IB=IC
hay I nằm trên đường trung trực của BC(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: MB=MC(M là trung điểm của BC)
nên M nằm trên đường trung trực của BC(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Ta có: AB=AC(ΔABC cân tại A)
nên A nằm trên đường trung trực của BC(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(3)
Từ (1),(2) và (3) suy ra A,M,I thẳng hàng(đpcm)
d) Ta có: ΔIBC cân tại I(cmt)
⇒\(\widehat{IBC}=\frac{180^0-\widehat{I}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong ΔIBC cân tại I)(4)
Ta có: IB+HB=IH(B nằm giữa H và I)
IC+KC=IK(C nằm giữa K và I)
mà IB=IC(cmt)
và HB=KC(cmt)
nên IH=IK
Xét ΔIHK có IH=IK(cmt)
nên ΔIHK cân tại I(định nghĩa tam giác cân)
hay \(\widehat{IHK}=\frac{180^0-\widehat{I}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong ΔIHK cân tại I)(5)
Từ (4) và (5) suy ra \(\widehat{IBC}=\widehat{IHK}\)
mà \(\widehat{IBC}\) và \(\widehat{IHK}\) là hai góc ở vị trí đồng vị
nên BC//HK(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)