Ta có: \(AN=CN=\dfrac{AC}{2}\)(N là trung điểm của AC)
\(AM=BM=\dfrac{AB}{2}\)(M là trung điểm của AB)
mà AC=AB(ΔABC cân tại A)
nên AN=CN=AM=BM
Xét ΔABN và ΔACM có
AB=AC(ΔABC cân tại A)
\(\widehat{BAN}\) chung
AN=AM(cmt)
Do đó: ΔABN=ΔACM(c-g-c)
nên \(\widehat{ABN}=\widehat{ACM}\)(hai góc tương ứng)
Ta có: \(\widehat{ABN}+\widehat{CBN}=\widehat{ABC}\)(tia BN nằm giữa hai tia BA,BC)
\(\widehat{ACM}+\widehat{BCM}=\widehat{ACB}\)(tia CM nằm giữa hai tia CA,CB)
mà \(\widehat{ABN}=\widehat{ACM}\)(cmt)
và \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(hai góc ở đáy trong ΔABC cân tại A)
nên \(\widehat{CBN}=\widehat{BCM}\)
hay \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)
Xét ΔIBC có \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)(cmt)
nên ΔIBC cân tại I(Định lí đảo của tam giác cân)