Question

cho tam giác ABC cân tại A đường cao AH trên AB lấy I trên AC lấy K sao cho AI=AK CMR điểm I đối xứng với K qua AH

Answer 1

Ta có: AI+IB=AB(I nằm giữa A và B)

AK+KC=AC(K nằm giữa A và C)

mà AI=AK(gt)

và AB=AC(ΔABC cân tại A)

nên IB=KC

Ta có: ΔABC cân tại A(gt)

mà AH là đường cao ứng với cạnh đáy BC(gt)

nên AH là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(Định lí tam giác cân)

⇒H là trung điểm của BC

⇒BH=HC

Xét ΔIHB và ΔKCH có

IB=KC(cmt)

\(\widehat{B}=\widehat{C}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)

BH=CH(cmt)

Do đó: ΔIHB=ΔKCH(c-g-c)

⇒HI=HK(hai cạnh tương ứng)

⇒H nằm trên đường trung trực của IK(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: AI=AK(gt)

nên A nằm trên đường trung trực của IK(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra AH là đường trung trực của IK

hay I đối xứng với K qua AH(đpcm)