Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AH.
a) Chứng minh tam giác ABH = tam giác ACH và AH là tia phân giác của góc BAC.
b) Cho BH= 8cm, AB= 10cm.Tính AH.
c) Gọi E là trung điểm của AC và G là giao điểm của BE và AH.Tính HG.
d) Vẽ Hx song song với AC, Hx cắt AB tại F. Chứng minh C, G, F thẳng hàng.
a) Xét ΔABH vuông tại H và ΔACH vuông tại H có
AB=AC(do ΔABC cân tại A)
AH là cạnh chung
Do đó: ΔABH=ΔACH(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
⇒\(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\)(hai góc tương ứng)
mà tia AH là tia nằm giữa của hai tia AB,AC
nên AH là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)(đpcm)
b) Áp dụng định lí pytago vào ΔABH vuông tại H, ta được
\(AB^2=AH^2+BH^2\)
hay \(10^2=AH^2+8^2\)
\(\Rightarrow AH^2=10^2-8^2=36\)
\(\Rightarrow AH=\sqrt{36}=6cm\)
Vậy: AH=6cm
c) Ta có: ΔABH=ΔACH(cmt)
⇒HB=HC(hai cạnh tương ứng)
mà H nằm giữa B và C
nên H là trung điểm của BC
Xét ΔABC có
AH là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(do H là trung điểm của BC)
BE là đường trung tuyến ứng với cạnh AC(do E là trung điểm của AC)
\(AH\cap BE=\left\{G\right\}\)
Do đó: G là trọng tâm của ΔABC(đ/n)
⇒\(AG=AH\cdot\frac{2}{3}=6\cdot\frac{2}{3}=4cm\)
Ta có: AG+GH=AH(do A,G,H thẳng hàng)
hay GH=AH=AG=6-4=2cm
Vậy: GH=2cm
d) Ta có: \(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\)(cmt)
và \(\widehat{FHA}=\widehat{CAH}\)(so le trong, AC//HF)
nên \(\widehat{BAH}=\widehat{FHA}\)
hay \(\widehat{FAH}=\widehat{FHA}\)
Xét ΔFAH có \(\widehat{FAH}=\widehat{FHA}\)(cmt)
nên ΔFAH cân tại F(định lí đảo tam giác cân)
⇒FH=FA(1)
Ta có: \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)
mà \(\widehat{FHB}=\widehat{ACB}\)(đồng vị, HF//AC)
nên \(\widehat{ABC}=\widehat{FHB}\)
hay \(\widehat{FBH}=\widehat{FHB}\)
Xét ΔFHB có \(\widehat{FBH}=\widehat{FHB}\)(cmt)
nên ΔFHB cân tại F(đl đảo của tam giác cân)
⇒FH=FB(2)
Từ (1) và (2) suy ra AF=BF
mà F nằm giữa A và B
nên F là trung điểm của AB
Xét ΔABC có
CG là đường trung tuyến ứng với cạnh AB(do G là trọng tâm của ΔABC)
CF là đường trung tuyến ứng với cạnh AB(do F là trung điểm của AB)
mà CG và CF có điểm chung là C
nên C,G,F thẳng hàng(đpcm)