Question

Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE.

Chứng minh rằng: BD + CE > 3/2.BC

Answer 1

Gọi G là giao điểm của BD và CE

Vì BD và CE là 2 đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) mà BD\(\cap\)CE=\(\left\{G\right\}\)

=> G là điểm chung của 2 trung tuyến của \(\Delta ABC\)

=> G thuộc trung tuyến ứng với cạnh BD và cạnh CE

=> \(\left\{{}\begin{matrix}CE=\dfrac{3}{2}CG\\BD=\dfrac{3}{2}BG\end{matrix}\right.\)(Tính chất 3 đường trung tuyến trong tam giác)

=> CE+BD = \(\dfrac{3}{2}CG+\dfrac{3}{2}BG=\dfrac{3}{2}\left(CG+BG\right)\)=>\(\dfrac{2}{3}\left(CE+BD\right)=CG+BG\)

Lại có trong \(\Delta BGC\) có BG+CG>BC (Bất đẳng thức tam giác) Thay \(\dfrac{2}{3}\left(CE+BD\right)=CG+BG\)

=> \(\dfrac{2}{3}\left(CE+BD\right)>BC\)

=>\(CE+BD>\dfrac{3}{2}BC\) (đpcm)