Ta có hình vẽ:
a) Xét 2 \(\Delta\)vuông \(ABE\)và \(\Delta HBE\) có:
góc B1 = góc B2 (gt)
BE là cạnh huyền chung
=> \(\Delta ABE\) = \(\Delta HBE\) (cạnh huyền - góc nhọn)
b) Xét 2 \(\Delta\) \(ABI\)và \(\Delta HBI\) có:
góc B1 = góc B2 (gt)
AB = HB (vì \(\Delta ABE\) = \(\Delta HBE\))
AI là cạnh chung
=> \(\Delta ABI\)= \(\Delta HBI\) (c-g-c)
=> AI = HI (2 cạnh tương ứng)
=> góc I1 = góc I2 (2 góc tương ứng)
mà góc I1 + góc I2 = 180 độ
=> góc I1 = góc I2 = 180/2= 90 độ
=> BI \(\perp\) AH
=> BI là đường trung trực của đoạn thẳng AH
=> BE cũng là đường trung trực của đoạn thẳng AH (đpcm) (vì B, I , E nằm trên cùng 1 đoạn thẳng)
c)Xét \(\Delta\) vuông HEC có:
EC là cạnh đối diên với góc vuông (góc EHC)
=> EC là cạnh lớn nhất
=> EC > HE
mặt \(\ne\) HE = AE (vì\(\Delta ABE\) = \(\Delta HBE\))
=> EC > AE
d) Xét \(\Delta BKC\) có:
KH là đường cao thứ 1
CA là đường cao thứ 2
=> BF là đường cao thứ 3
=> BF \(\perp\) KC
=> BE \(\perp\) KC (đpcm) (vì B, E , F nằm trên cùng 1 đoạn thẳng)