Lời giải:
Ta có:
\(S=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2015^2}\)
\(S> \frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{2015.2016}\)
\(\Leftrightarrow S> \frac{3-2}{2.3}+\frac{4-3}{3.4}+\frac{5-4}{4.5}+...+\frac{2016-2015}{2015.2016}\)
\(\Leftrightarrow S> \frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016}\)
\(\Leftrightarrow S> \frac{1}{2}-\frac{1}{2016}=\frac{1007}{2016}\)
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\(S=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+....+\frac{1}{2015^2}\)
\(S< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{2014}{2015}\)
\(\Leftrightarrow S< \frac{2-1}{1.2}+\frac{3-2}{2.3}+\frac{4-3}{3.4}+...+\frac{2015-2014}{2014.2015}\)
\(\Leftrightarrow S< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-....+\frac{1}{2014}-\frac{1}{2015}\)
\(\Leftrightarrow S< 1-\frac{1}{2015}=\frac{2014}{2015}\)
Vậy ta có đpcm.