Ta có:
\(\left(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}\right)\left(x+y+z\right)=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}+x+y+z\)
\(\Leftrightarrow x+y+z=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}+x+y+z\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}=0\)
Vậy ta có DPCM
Chứng minh các bất đẳng thức sau với x, y, z > 0
a) x2 + y2 ≥ (x + y)2/2
b) x3 + y3 ≥ (x + y)3/4
c) x4 + y4 ≥ (x + y)4/8
d) x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx
e) x2 + y2 + z2 ≥ (x + y + z)2/3
f) x3 + y3 + z3 ≥ 3xyz
Cho \(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}=0\) và x + y + z khác 0. Tính \(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}+\dfrac{z}{x+y}\)
Cho x,y,z là các số dương. CMR:
a) (x+y+z)(\(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{x+z}\)) ≥\(\dfrac{9}{2}\)
b) (x+y+z+t)(\(\dfrac{1}{x+y+z}+\dfrac{1}{y+z+t}+\dfrac{1}{z+t+x}+\dfrac{1}{t+x+y}\)) ≥\(\dfrac{16}{3}\)
c) \(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\) ≥\(\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)\)
Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn \(\dfrac{^{x^2}}{x+y}+\dfrac{y^2}{y+z}+\dfrac{z^2}{z+x}\)
Hãy tính giá trị của A=\(\dfrac{y^2}{x+y}+\dfrac{z^2}{y+z}+\dfrac{x^2}{z+x}\)
Tìm x,y sao cho \(\sqrt{x+y-z}=\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{z}.ĐK:x,y,z\ge0;x+y-z\ge0\)
Cho x, y, z khác 0, x+y khác z và y+z khác x
thoả mãn \(\frac{x^2+y^2-z^2}{2xy}-\frac{y^2+z^2-x^2}{2yz}+\frac{z^2+x^2-y^2}{2zx}\) =1. Chứng minh x+y+z=0
Cho x + y+z =0
a, Tính \(x^3+y^3+z^3-3xyz\)
b, Tính \(\left(\dfrac{x}{y}+1\right)\left(\dfrac{y}{z}+1\right)\left(\dfrac{z}{x}+1\right)\)
c, \(\dfrac{1}{y^2+z^2-z^2}+\dfrac{1}{x^2+z^2-y^2}+\dfrac{1}{x^2+y^2-z^2}\)
cho \(x,y,z>0\). chứng minh rằng
\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\text{≥}\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}\)
Bài 1: Cho - 1 \(\le\) x; y; z \(\le\)2 và x + y + z = 0. CMR x2 + y2 + z2 \(\le\) 6
Bài 2: CMR: Nếu ( x - y )2 + ( y - z )2 + ( z - x )2 = ( y + z - 2x )2 + ( z + x - 2y )2 + ( x + y - 2z )2 thì x = y = z
