Question

Cho `p,q\inZZ^(+):1+2+3+...+(p-1)=(p+1)+(p+2)+...+(p+q)`

Chứng minh `p` tồn tại ít nhất một ước khác `1` và `p`

Answer 1

GT\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(p-1\right)p}{2}=qp+\dfrac{q\left(q+1\right)}{2}\)

\(\Leftrightarrow p^2-p=2qp+q^2+q\Leftrightarrow2p^2=\left(p+q\right)\left(p+q+1\right)\)

Giả sử p chỉ tồn tại các ước là 1 và p thì chỉ có thể phân tích:

\(p^2=1.p^2=p.p\)

Với \(p\ne1\) thì ta có:

TH1:

\(\left\{{}\begin{matrix}p+q=2\\p+q+1=p^2\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow p^2=3\), vô lý

TH2:

\(\left\{{}\begin{matrix}p+q=p\\p+q+1=2p\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow p=1\), vô lý

Vậy điều giả sử là sai nên ta có đpcm