Question

Cho phương trình \(x^2-5x+m=0\)

Tìm các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm dương x₁,x₂ thỏa mãn \(x_1\sqrt{x_2}+x_2\sqrt{x_1}=6\)

Answer 1

Lời giải:

Để pt có 2 nghiệm pb $x_1,x_2$ thì :

\(\Delta=25-4m>0\Leftrightarrow m< \frac{25}{4}\)

Áp dụng định lý Vi-et: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=5\\ x_1x_2=m\end{matrix}\right.\)

Để $x_1,x_2>0$ thì \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=5>0\\ x_1x_2=m>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m> 0\).

Khi đó:

\(x_1\sqrt{x_2}+x_2\sqrt{x_1}=6\)

\(\Leftrightarrow x_1^2x_2+x_2^2x_1+2x_1x_2\sqrt{x_1x_2}=36\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2(x_1+x_2)+2x_1x_2\sqrt{x_1x_2}=36\)

\(\Leftrightarrow 5m+2m\sqrt{m}-36=0\)

\(\Leftrightarrow 2m(\sqrt{m}-2)+9(m-4)=0\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{m}-2)(2m+9\sqrt{m}+18)=0\)

\(\Rightarrow m=4\) (thỏa mãn)

Vậy......