Lời giải:
a) Để PT có một nghiệm thì có 2TH sau:
TH1: \(m+1=0\Leftrightarrow m=-1\)
PT trở thành \(6x=0\Leftrightarrow x=0\) (thỏa mãn)
TH2: \(m+1\neq 0\). Khi đó để pt co 1 nghiệm thì\((m+1)x^2+2(m+4)x+m+1=0\) phải có nghiệm kép.
Điều kiện: \(\Delta '=(m+4)^2-(m+1)^2=0\)
\(\Leftrightarrow 3(2m+5)=0\Leftrightarrow m=\frac{-5}{2}\)
Vậy để pt có 1 nghiệm duy nhất thì \(m\in\left\{-1;\frac{-5}{2}\right\}\)
b) Để pt có hai nghiệm thì trước tiên \(m+1\neq 0\Leftrightarrow m\neq -1\)
Điều kiện để pt bậc 2 có hai nghiệm:
\(\Delta'=(m+4)^2-(m+1)^2>0\)
\(\Leftrightarrow 3(2m+5)>0\Leftrightarrow m>\frac{-5}{2}\)
Vậy điều kiện là \(m\neq -1; m> \frac{-5}{2}\)
c) Tương tự như phần b, trước tiên để pt có hai nghiệm thì \(m\neq -1; m> \frac{-5}{2}\)
Khi đó áp dụng hệ thức Viete, để pt có hai nghiệm âm thì:
\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{-2(m+4)}{m+1}< 0\\ x_1x_2=1>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \frac{2(m+4)}{m+1}>0\) (1)
Nếu \(m+4< 0\Rightarrow m< -4< -\frac{5}{2}\) (vô lý) . Do đó \(m+4>0\) (2)
Từ (1);(2) suy ra \(m+1>0\Leftrightarrow m> -1\)
Tổng hợp lại, suy ra điều kiện để pt có hai nghiệm âm là \(m> -1\)