Question

Cho phân thức \(P=\frac{\left(x^2+a\right)\left(1+a\right)+a^2x^2+1}{\left(x^2-a\right)\left(1-a\right)+a^2x^2+1}\)

a.Rút gọn P

b. Chứng minh phân thức trên không phụ thuộc vào x , có nghĩa với mọi x và a

Answer 1

Tử của P: \(T=x^2\left(1+a\right)+a\left(1+a\right)+a^2x^2+1=\left(1+a+a^2\right)x^2+\left(a^2+a+1\right)\)

\(T=\left(a^2+a+1\right)\left(x^2+1\right)\)

Mẫu của P:

\(M=x^2\left(1-a\right)-a\left(1-a\right)+a^2x^2+1=\left(1-a+a^2\right)x^2+\left(a^2-a+1\right)\)

\(M=\left(a^2-a+1\right)\left(x^2+1\right)\)

Ta có: \(x^2\ge0\Rightarrow x^2+1\ge1\Rightarrow\left(x^2+1\right)\ne0\forall x\)

a)\(P=\frac{T}{M}=\frac{\left(a^2+a+1\right)\left(x^2+1\right)}{\left(a^2-a+1\right)\left(x^2+1\right)}=\frac{\left(a^2+a+1\right)}{\left(a^2-a+1\right)}\)

b) từ (a) giá trị của P không con x trong biểu thức => P không phụ thuộc x--> dpcm