Ta có : 24 = 3.8
+ Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 => p là số lẻ.
=> p+5 , p+7 là hai số chẵn.
=> (p+5).(p+7) ⋮ 8
+ Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên suy ra p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 (k thuộc N*).
+) Với p = 3k + 1:
=> (p+5).(p+7) = 3k.(3k + 12) ⋮ 3 (*)
+) Với p = 3k + 2 :
=> (p+5).(p+7) = 3k.(3k+18) ⋮ 3 (**)
Từ (*) và (**) => (p+5).(p+7) ⋮ 3
=> (p+5).(p+7) ⋮ 24 (đpcm)
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3=> p là số lẻ
\(\Rightarrow\left(p+5\right)\left(p+7\right)\) là tích 2 số nguyên liên tiếp
\(\Rightarrow\left(p+5\right)\left(p+7\right)⋮8\left(1\right)\)
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên suy ra p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 (k thuộc N*).
+) Với p = 3k + 1:=> (p +5)(p + 7) = (3k+6).(3k + 7)=3(k+2)(3k+7) ⋮ 3 (2)
+) Với p = 3k + 2:=> (p +5)(p + 7) = (3k +7).(3k+9)=3(3k+3)(3k+7) ⋮ 3 (3)
Từ (2); (3) \(\Rightarrow\left(p+5\right)\left(p+7\right)⋮3\) (4)
Từ \(\left(1\right),\left(4\right)\Rightarrow\left(p+5\right)\left(p+7\right)⋮24\)