Question

Cho m>n>0. CMR hàm số ​\(y=\left(\sqrt{m}-\sqrt{n}-\sqrt{m-n}\right)x+m-n\)​ luôn nghịch biến với mọi giá trị của x thuộc tập R

Answer 1

Để chứng minh hàm số \(y=\left(\sqrt{m}-\sqrt{n}-\sqrt{m-n}\right)x+m-n\) nghịch biến ta cần chứng minh \(\sqrt{m}-\sqrt{n}-\sqrt{m-n}< 0\).
Giả sử \(\sqrt{m}-\sqrt{n}-\sqrt{m-n}< 0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{m}-\sqrt{n}-\sqrt{m-n}< 0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{m}-\sqrt{n}< \sqrt{m-n}\) (*)
Vì \(m>n>0\) nên \(\sqrt{m}>\sqrt{n}\) ta bình phương hai vế của (*) ta có:
\(m+n-2\sqrt{m.n}< m-n\)
\(\Leftrightarrow2n-2\sqrt{mn}< 0\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{n}\left(\sqrt{n}-\sqrt{m}\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{n}-\sqrt{m}< 0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{n}< \sqrt{m}\)
\(\Leftrightarrow n< m\) (luôn đúng).
Ta có điều phải chứng minh.