Gọi P là trung điểm BC \(\Rightarrow NP//CC_1\Rightarrow NP\perp\left(ABC\right)\Rightarrow NP\perp AP\)
Mà \(AP\perp BC\) (t/c tam giác cân)
\(\Rightarrow AP\perp\left(BCC_1B_1\right)\)
Cũng do \(NP\) là đường trung bình tam giác \(BCC_1\Rightarrow NP=\frac{1}{2}CC_1\)
\(\Rightarrow NP=AM\Rightarrow AMNP\) là hình chữ nhật
\(\Rightarrow MN//AP\Rightarrow MN\perp\left(BCC_1B_1\right)\Rightarrow MN\perp BC_1\)
\(\Rightarrow MN\) là đường vuông góc chung \(AA_1\) và \(BC_1\) (MN hiển nhiên vuông góc \(AA_1\))
\(C_1A_1\perp AA_1\) ; \(C_1A_1\perp B_1A_1\Rightarrow C_1A_1\perp\left(ABB_1A_1\right)\)
\(\Rightarrow C_1A_1=d\left(C_1;\left(BMA_1\right)\right)\)
\(S_{BMA_1}=\frac{1}{2}d\left(B;AA_1\right).A_1M=\frac{1}{2}AB.\frac{AA_1}{2}=\frac{a^2\sqrt{2}}{4}\)
\(\Rightarrow V=\frac{1}{3}C_1A_1.S_{BMA_1}=\frac{1}{3}.a.\frac{a^2\sqrt{2}}{4}=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}\)