Cho hình vuông ABCD cạnh là a và N là một điểm trên cạnh AB. Tia CN cắt tia DA tại E. Trên tia đối của tia BA lấy điểm F sao ch oBF=DE. Gọi M là trung điểm của EF.
a) Chứng minh tam giác ACE đồng dạng với tam giác BCM.
b) Xác định vị trí điểm N trên AB sao cho diện tích tứ giác ACFE gấp ba lần diện tích hình vuông ABCD.
a) ΔACE=ΔBCF (c.g.c) ⇒ CE=CF; \(\widehat{ECF}=90^0\) ⇒ ΔECF vuông cân tại C.
⇒ Δ CME vuông cân tại M, lại có ΔABC vuông cân tại B
⇒ \(\frac{AC}{EC}=\frac{BC}{MC}\), lại có \(\widehat{ACE}=\widehat{BCM}=45^0-\widehat{ECB}\)
⇒ ΔACE~ΔBCM (c.g.c)
b) \(S_{ACFE}=3.S_{ABCD}\Rightarrow2S_{ABC}+2S_{BCF}+2S_{AEF}=6S_{ABCD}\)
⇒ \(AB.BC+BC.BF+AE.AF=6AB.BC\)
⇒ \(AB^2+AB\left(AB+AE\right)+AE\left(2AB+AE\right)=6AB^2\)
⇒ \(4AB^2-3AB.AE-AE^2=0\)
⇒ \(\left(AB-AE\right)\left(4AB+AE\right)=0\)
⇒ \(AB=AE\)
Khi đó AN là đường trung bình của ΔDEC
⇒ N là trung điểm của AB
Vậy khi N là trung điểm AB thì diện tích tứ giác ACFE gấp 3 lần diện tích hình vuoong ABCD
khác A). Đường thẳng qua I vuông góc với AB cắt (O) tại C và D. Trên tia đối của tia BA lấy điểm S cố định. Đoạn CS cắt (O) tại M, gọi E là giao điểm của DM và AB.