Cho hình thang ABCD(AB//CD) và AB<CD. Đường thẳng song song với cạnh đáy AB cắt các cạnh bên và các đường chéo AD, BC theo thứ tự tại M,N. Chứng minh a) \(\frac{MA}{AD}=\frac{NB}{BC}\) b)\(\frac{MA}{MD}=\frac{NB}{NC}\)c)\(\frac{MD}{DA}=\frac{NC}{CB}\)
Cho tam giác đều ABC và O là một điểm nằm trong tam giác. Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của AO, BO, CO với BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
a) \(\frac{1}{AM}+\frac{1}{BN}+\frac{1}{CP}\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{OM}+\frac{1}{ON}+\frac{1}{OP}\right)\)
b) \(\frac{1}{AM}+\frac{1}{BN}+\frac{1}{CP}\le\frac{2}{3}\left(\frac{1}{OA}+\frac{1}{OB}+\frac{1}{OC}\right)\).
Cho \(\frac{1}{2}\) đường tròn ( O; R ). Kẻ 2 tiếp tuyến Ax, By. M ∈ nửa đường tròn trung tuyến tại M cắt Ax, By tại C và D. Nối OC cắt MA tại E. OD cắt MB tại F. AD cắt BC tại N.
a. Chứng minh: ∠ COD = 90o.
b. Chứng minh: OE. OC = OF. OD.
c. Chứng minh: AC + BD = CD
Cho ( O; 4cm), đường kính AB. Lấy H\(\in\)OA sao cho OH=1cm. Kẻ dây cung DC\(\perp\) AB tại H.
a) C/m: \(\Delta\)ABC cuông và tính AC
b) Tiếp tuyến của (O) cắt BC tại E. C/m \(\Delta\)CBD cân và \(\frac{EC}{DH}=\frac{IA}{DB}\)
c) Gọi I là trung điểm EA, đoạn IB cắt (O) tại Q. C/m CI là tiếp tuyến (O) và \(\widehat{ICO}=\widehat{CBI}\)
d) Tiếp tuyến tại B của (O) cắt IC tại F. C/m IB, HC, AF đồng quy.
1 ) Cho hình thoi ABCD có góc BAD =120 ; Tia Ax tạo với tia AB 1 góc BAx = 15 và cắt BC tại M và cắt CD tại N . c/m \(\frac{3}{AM^2}+\frac{3}{AN^2}=\frac{4}{AB^2}\)
2) Trên các cạnh AB , CD của hình vuông ABCD lấy các điểm M,N sao cho 3AM=3CN=AB. K là giao điểm AN và DM . S là trực tâm tam giác ADK . Chứng minh B,C,S thẳng hàng
3)Cho hình vuông ABCD có cạnh AB=a . E là điểm nằm giữa A và B. CE cắt AD tại I . Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với CE cắt AB tại K .Đặt BE=x Tính diện tích tứ giác ACKI theo a và x.
4)Cho hàm số y=mx-3x+m+1. Tìm giá trị m của đồ thị hàm số là 1 đường thẳng cắt 2 trục tọa độ tào thành 1 tam giác có diện tích = 1 .
Cho nửa đường tròn (O; R), đường kính AB. Gọi Ax và By là hai tiếp tuyến với nửa đường tròn (O) ( ∈ một nửa mặt phẳng AB). Qua điểm E thuộc một nửa đường tròn (E khác A, B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By theo thứ tự C và D. Chứng minh:
a) CD=AC+BD
b) góc COD=90 độ
c) Tổng \(\frac{1}{OC^2}+\frac{1}{OD^2}\) không đổi khi điểm E di chuyển trên nửa đường tròn (E khác A, B)
d) Gọi F là giao điểm AD và BC. Chứng minh EF ⊥ AB
Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB kẻ tia Ax và By cùng vuông góc với AB. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB, trên tia Ax lấy điểm D, trên tia By lấy điểm C sao cho AD < BC và góc COD = 90 độ. Hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại E. Từ O kẻ OH vuông góc với CD (H thuộc CD). Chứng minh rằng
a, \(OC^2.DH=OD^2.CH\)
b, DO là tia phân giác của góc ADC
c, \(\frac{AH^2}{BH^2}=\frac{AE}{BE}\)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O; R) có 2 đường chéo AC và BD
vuông góc với nhau tại I và I khác O.
a) Chứng minh: IA. IC = IB. ID
b) Vẽ đường kính CE. Chứng minh ABDE là hình thang cân, suy ra:
\(AB^2+CD^2=4R^2\) và \(AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=8R^2\)
c) Từ A và B vẽ đường thẳng vuông góc đến CD lần lượt cắt BD tại F, cắt AC tại K.
Chứng minh A, B, K, F là 4 đỉnh của một tứ giác đặc biệt.
d) Gọi M là trung điểm của CD. Chứng minh: AB = 2OM.
Cho đường tròn tâm O bán kính R có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Lấy điểm M bất kỳ thuộc đoạn OA (M khác O, A). Tia DM cắt (O) tại N.
1) Chứng minh OMNC là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh DM.DN = DC.DO .
3) Tiếp tuyến tại C với đường tròn (O) cắt tia DM tại E, đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE cắt BC tại F. Chứng minh DF // AN.
4) Nối B với N cắt OC tại P. Tìm vị trí của điểm M để OM/AM + OP/CP đạt GTNN.
