Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của cạnh AB, CD.
a) Tứ giác AMCN là hình gì? Vì sao?
b) Tính diện tích tứ giác ABCD, biết AD = 8cm, AB = 12 cm
c) Vẽ điểm P đối xứng với A qua D và điểm Q đối xứng với N qua D. Chứng minh tứ giác ANPQ là hình thoi?
d) Chứng minh 3 điểm B, N, P thẳng hàng.
e) Vẽ AN cắt đường thẳng BD, PC thứ tự tại I và K. Chứng minh NK=1/6 BP
Hình Tự Kẻ
a)
Theo đề ra ta có:
Tứ giác ABCD là Hình chữ nhật
⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}=90^0\\AB=CD\\AD=BC\end{matrix}\right.\)( Tính Chất Hình Chữ Nhật )
Ta có :
M là trung điểm của AB ( gt )
N là trung điểm của CD (gt)
Mà AB = CD (cmt)
⇒ \(AM=BM=CN=DN=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}CD\)
Áp Dụng Định Lí Pi Ta Go Vào ΔCBM :
\(CM^2=BC^2+BM^2\)
Áp Dụng Định Lí Pi Ta Go Vào ΔADN :
\(AN^2=AD^2+DN^2\)
Mà : \(\left\{{}\begin{matrix}AD=BC\left(cmt\right)\\DN=BM\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)
⇒ AN = CM
Tứ Giác AMCN có:
AN = CM (cmt)
AM = CN (cmt)
⇒ Tứ giác AMCN là Hình Bình Hành
b)
Theo bài ra ta có :tứ giác ABCD là Hình Chữ Nhật
\(\Rightarrow S_{ABCD}=AB.AD=12.8=96cm^2\)
c)
Ta có:
P đối xứng A qua D (gt) ⇒ D là trung điểm của AP
Q đối xứng N qua D (gt) ⇒ D là trung điểm của NQ
⇒ D là trung điểm của AP và NQ
Tứ giác ANPQ có:
D là trung điểm của AP và NQ (cmt)
⇒ Tứ Giác ANPQ là Hình Bình Hành
Mà : \(\widehat{D}=90^0\left(cmt\right)\Rightarrow AD\perp DN\Rightarrow AP\perp NQ\)
Hình Bình Hành ANPQ có:
\(AP\perp NQ\left(cmt\right)\)
⇒ Hình Bình Hành ANPQ là Hình Thoi
d)
Ta có:
Áp Dụng Định Lí Pi Ta Go Vào ΔADN :
\(AN^2=AD^2+DN^2\)
Áp Dụng Định Lí Pi Ta Go Vào ΔBCN
\(BN^2=CN^2+BC^2\)
Mà : \(\left\{{}\begin{matrix}AD=BC\left(cmt\right)\\DN=CN\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow AN=BN\)
+ΔANB có:
AN = BN (cmt)
⇒ ΔANB cân tại N
⇒ \(\widehat{BAN}=\widehat{ANB}\) ( 2 góc đáy trong tam giác cân )
+ΔANB cân tại N có:
\(\widehat{BAN}+\widehat{ABN}+\widehat{ANB}=180^0\) ( tính chất tam giác )
ΔABP có:
D là trung điểm của AP (cmt)
N là trung điểm của CD (gt)
⇒ DN là đường trung bình của ΔABP
\(\Rightarrow\) DN // AB ( tính chất đường trung bình )
Vì : DN // AB
Nên : \(\widehat{ABN}=\widehat{DNP}\left(đv\right)\) (1)
Ta lại có:
Vì Hình Bình Hành ANPQ là Hình Thoi
⇒ NQ là tia phân giác của \(\widehat{ANP}\Rightarrow\widehat{ANQ}=\widehat{PNQ}\) hay \(\widehat{AND}=\widehat{PND}\) (2)
Mà :
+ \(\widehat{BAN}=\widehat{ANB}\) (cmt) (3)
+ \(\widehat{BAN}+\widehat{ABN}+\widehat{ANB}=180^0\) ( tính chất tam giác ) (4)
Từ 1;2;3 và 4 ⇒ \(\widehat{BAN}+\widehat{ABN}+\widehat{ANB}=\widehat{AND}+\widehat{PND}+\widehat{ANB}=\widehat{BNP}=180^0\)
⇒\(\widehat{BNP}\) là góc bẹt ⇒ 3 điểm B,N,P thẳng Hàng