Question

Cho hệ bất phương trình \(\hept{\begin{cases}x^2-3x-4\le0\\x^3-3|x|x-m^2+6m\ge0\end{cases}}\). Để hệ có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số m là:

Answer 1

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-3x-4\le0\left(1\right)\\x^3-3x\left|x\right|-m^2+6m>0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow-1\le x\le4\)

TH1 : \(-1\le x< 0\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow x^3+3x^2-m^2+6m>0\)

\(\Leftrightarrow m^2-6m\le x^3+3x^2=2\)

\(\Leftrightarrow m^2-6m-2\le0\)

\(\Leftrightarrow3-\sqrt{11}\le m\le3+\sqrt{11}\)

TH2 : \(0\le x< 4\)

\(\Leftrightarrow x^3-3x^2-m^2+6m\ge0\)

\(\Leftrightarrow m^2-6m\le x^3-3x^2=16\)

\(\Leftrightarrow m^2-6m-16\le0\)

\(-2\le m\le8\)

Vậy \(-2\le m\le8\)