a) Vì AH \(\perp\) BD (gt), ABCD là hình chữ nhật (gt)
=> \(\widehat{AHD}=\widehat{DAB}\) = 90o (ĐN 2 đt \(\perp\) và ĐN HCN)
Xét \(\Delta\)HAD và \(\Delta\)ABD có:
\(\widehat{AHD}=\widehat{DAB}\) (cmt)
\(\widehat{D}\): chung
=> \(\Delta\)HAD ~ \(\Delta\)ABD (g.g)
=> \(\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{HD}{AD}\) (ĐN 2 \(\Delta\) ~)
Ta có: DK là tia phân giác của 2 \(\Delta\)ADB và \(\Delta\)ADH
=> \(\dfrac{AK}{KB}=\dfrac{AD}{DB};\dfrac{HM}{AM}=\dfrac{DH}{AD}\) (t/c đường p/g \(\Delta\))
mà \(\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{HD}{AD}\) (cmt)
=> \(\dfrac{AK}{KB}=\dfrac{HM}{AM}\)
=> AK . AM = HM . BK (t/c TLT)
b) Xét \(\Delta\)ABC có: EP // BC (EP // AF, BC // AD)
=> \(\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{EP}{BC}=\dfrac{AD}{AC}\) (hệ quả ĐL Ta-lét) (1)
Xét \(\Delta\)ADC có: FP // DC (AE // FP, AB // CD)
=> \(\dfrac{AF}{FP}=\dfrac{AD}{DC}\) (hệ quả ĐL Ta-lét) (2)
Từ (1) và (2) => \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AD}\)
=> EF // BD (ĐL Ta-lét đảo)
=> \(\widehat{FMQ}=\widehat{QDB}\) (2 góc so le trong)
Gọi giao điểm của AO và EF là I
mà AEPF là hình chữ nhật (gt)
=> I là trung điểm AP, EF (t/c HCN)
Xét \(\Delta\)EFQ có: EF // BD (cmt)
=> \(\dfrac{EF}{BD}=\dfrac{EQ}{DQ}\) (hệ quả ĐL Ta-lét)
mà \(\dfrac{EF}{BD}=\dfrac{EI}{DQ}\) (EF = 2EI, BD = 2DO)
=> \(\dfrac{EQ}{DQ}=\dfrac{EI}{DO}\)
Xét \(\Delta\)IQE và \(\Delta\)OQD có:
\(\widehat{FMQ}=\widehat{QDB}\) (cmt)
\(\dfrac{EQ}{DQ}=\dfrac{EI}{DO}\) (cmt)
=> \(\Delta\)IQE ~ \(\Delta\)OQD (c.g.c)
=> \(\widehat{IQE}=\widehat{OQD}\) (ĐN 2 \(\Delta\) ~)
mà \(\widehat{DQO}+\widehat{OQE}=180^o\) (2 góc kề bù)
do đó \(\widehat{IQE}+\widehat{OQE}=180^o\)
=> I, O, Q thẳng hàng
hay A, O, Q thẳng hàng
*hình mình thiếu điểm O, bạn tự thêm vào nhé*