Phương trình hoành độ giao điểm:
\(2x^2+\left(3m-4\right)x-2=3x-1\Leftrightarrow2x^2+\left(3m-7\right)x-1=0\) (1)
\(ac=-2< 0\Rightarrow\) phương trình luôn có 2 nghiệm hay d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ\(a;b\) là nghiệm của (1)
\(A\left(a;3a-1\right);B\left(b;3b-1\right)\) với \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=7-3m\\ab=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Gọi C, D lần lượt là 2 điểm trên Ox có cùng hoành độ với A và B \(\Rightarrow C\left(a;0\right);D\left(b;0\right)\)
Áp dụng định lý Pitago: \(OA^2=OC^2+AC^2=a^2+\left(3a-1\right)^2\)
\(OB^2=OD^2+BD^2=b^2+\left(3b-1\right)^2\)
\(\Rightarrow P=OA^2+OB^2=a^2+b^2+\left(3a-1\right)^2+\left(3b-1\right)^2\)
\(P=10\left(a^2+b^2\right)-6\left(a+b\right)+2\)
\(P=10\left(a+b\right)^2-20ab-6\left(a+b\right)+2\)
\(P=10\left(a+b\right)^2-6\left(a+b\right)+12\)
\(P=10\left[\left(a+b\right)^2-2.\frac{3}{10}\left(a+b\right)+\frac{9}{100}\right]+\frac{111}{10}\)
\(P=10\left(a+b-\frac{3}{10}\right)^2+\frac{111}{9}\ge\frac{111}{9}\)
\(\Rightarrow P_{min}=\frac{111}{9}\) khi \(a+b=\frac{3}{10}\Leftrightarrow7-3m=\frac{3}{10}\Rightarrow m=\frac{67}{30}\)