Question

cho hàm số y= 1/2 x ² có đồ thị là parabol (P) đường thẳng y=mx+2 .Tìm m để d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x ₁+x ₂ mà x _1²+x _2² có giá trị nhỏ nhất

Answer 1

Lời giải:

PT hoành độ giao điểm giữa $(P)$ và $(d)$ là:

\(\frac{1}{2}x^2-(mx+2)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2mx-4=0(*)\)

Ta thấy \(\Delta'=m^2+4>0, \forall m\in\mathbb{R}\) nên pt \((*)\) luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ với mọi $m$

Áp dụng định lý Viete cho pt bậc 2 ta có:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2m\\ x_1x_2=-4\end{matrix}\right.\)

Suy ra: \(x_1^2+x_2^2=(x_1^2+x_2^2+2x_1x_2)-2x_1x_2\)

\(=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4m^2+8\)

Vì \(m^2\geq 0, \forall m\in\mathbb{R}\Rightarrow x_1^2+x_2^2\geq 4.0+8=8\)

Giá trị nhỏ nhất bằng $8$ đạt được khi mà \(m^2=0\Leftrightarrow m=0\) (thỏa mãn)

Vậy \(m=0\)