Question

Cho hai đường tròn (O;R) và Q nằm ngoài đường tròn. Cát tuyến qua Q cắt (O) tại M, N. Tiếp tuyến tại M, N cắt nhau tại A, kẻ $AD\bot OQ$ tại $D.$ Chứng minh rằng $OD\cdot OQ=R^2.$ 

Answer 1

Lời giải:

Gọi $H$ là giao điểm $MN$ và $OA$. 

$AM=AN; OM=ON$ nên $OA$ là trung trực của $MN$. Do đó $OA\perp MN$ tại $H$

$\Rightarrow \widehat{AHQ}=90^0$

Tứ giác $AHDQ$ có $\widehat{AHQ}=\widehat{ADQ}=90^0$ và cùng nhìn cạnh $AQ$ nên $AHDQ$ nội tiếp

$\Rightarrow OD.OQ=OH.OA(1)$

Mà xét tam giác $AMO$ vuông tại $M$ có đường cao $MH$, thì theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: $R^2=OM^2=OH.OA(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow OD.OQ=R^2$ (đpcm)

Answer 2

Hình vẽ:

Answer 3

Gửi ảnh mãi không được, tức á:(