=> \(x^2-2\left(m+2\right)x+\left(6m+1\right)=0\\ \Rightarrow\Delta=\left(-2\left(m+2\right)\right)^2-4\left(6m+1\right)\\ \Delta=4\left(m^2+2m+4\right)-24m-4\\ \Delta=4m^2+8m+16-24m-4\\ \Delta=4m^2-16m+12\\ \Delta=\left(2m+4\right)^2-4\\ \Delta=\left(2m-4+2\right)\left(2m-4-2\right)\\ \Delta=2\left(m-1\right)\left(m-3\right)\)
TH1:\(\Delta< 0\)
=>(m-1)(m-3)<0
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-1< 0\\m-3>0\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}m-1>0\\m-3< 0\end{matrix}\right.\)
=> m<1,m>3(vô lý) hoặc m>1,m<3(không đúng với mọi m)
=>\(\Delta< 0\) là vô lý.
TH2\(\Delta\ge0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-1\le0\\m-3\le0\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}m-1\ge0\\m-3\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow m\le1,m\le3\)(đúng) hoặc \(m\ge1,m\ge3\)(đúng với mọi m)
Vậy \(\Delta\ge0\) là đúng
=> f(x)=0 có nghiệm với mọi m
a) ta có : \(\Delta'=\left(m+2\right)^2-\left(6m+1\right)=m^2+4m+4-6m-1\)
\(=m^2-2m+1+2=\left(m-1\right)^2+2\ge2>0\forall m\)
\(\Rightarrow\) phương trình \(f\left(x\right)=0\) luôn có nghiệm với mọi \(m\) (đpcm)
b) khi \(x=t+2\) \(\Rightarrow f\left(x\right)=x^2-2\left(m+2\right)x+6m+1\)
\(=\left(t+2\right)^2-2\left(m+2\right)\left(t+2\right)+6m+1\)
\(=t^2+4t+4-2\left(mt+2m+2t+4\right)+6m+1\)
\(=t^2+4t+4-2mt-4m-4t-8+6m+1\)\(=t^2-2mt+2m-3\)
ta có : phương trình \(f\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm lớn hơn 2 \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2>4\\x_1+x_2>4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6m+1>4\\2\left(m+2\right)>4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>\dfrac{1}{2}\\m>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>\dfrac{1}{2}\) vậy \(m>\dfrac{1}{2}\)