Cho \(f\left(x\right)=x^3-3x\)
a. Chứng minh rằng tồn tại các số thực a, b, c đôi một phân biệt sao cho \(f\left(a\right)=b,f\left(b\right)=c,f\left(c\right)=a\)
b. Giả sử tồn tại 3 bộ số thực \(\left(a_i,b_i,c_i\right)\) với \(i=\overline{1,3}\) gồm 9 số đôi một phân biệt sao cho \(f\left(a_i\right)=b_i,f\left(b_i\right)=c_i,f\left(c_i\right)=a_i\) với \(i=\overline{1,3}\). Đặt \(S=a_i+b_i+c_i\) với \(i=\overline{1,3}\), chứng minh rằng \(S_1^2+S_2^2+S_3^2\ne S_1S_2+S_2S_3+S_1S_3\)
Cho \(f\left(x\right)=\frac{2}{3}x^3+\left(\cos a-3\sin a\right)x^2-8\left(1+\cos a\right)x+1\)
a) Chứng minh rằng hàm số luôn có cực đại và cực tiểu
b) Giả sử hàm số đạt cực trị tại \(x_1,x_2\). Chứng minh rằng \(x_1^2+x_2^2\le18\)
Tìm các số a, b, c, d sao cho hàm số \(f\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d\) đạt cực tiểu tại \(x=0;f\left(0\right)=0\) và đạt cực tiểu tại \(x=1;f\left(1\right)=1\)
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) có đạo hàm \(f'\left(x\right)=\left(x-2\right)^2\left(x-1\right)\left(x^2-2\left(m+1\right)x+m^2-1\right)\) , \(\forall x\in R\) . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số \(g\left(x\right)=f\left(\left|x\right|\right)\) có 5 điểm cực trị ?
Chứng minh \(\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\dfrac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}\)
Cho hàm số \(f\left(x\right)=x^4-2mx^2+4-2m^2\) . Có bao nhiêu số nguyên \(m\in\left(-10;10\right)\) để hàm số \(y=\left|f\left(x\right)\right|\) có đúng ba điểm cực trị ?
Cho hàm số : y=f(x) có f'(x)=(x+2)(x-2)(x-5).Hỏi hàm số \(g\left(x\right)=f\left(1-x\right)+\frac{x^3}{3}-x^2-3x\) giảm trong khoảng nào ?
Cho hàm số y=f(x)=\(\left\{{}\begin{matrix}2x^3-3\left(m+1\right)x^2+6mx-2\left(x< =3\right)\\nx+46\left(x>3\right)\end{matrix}\right.\)
trong đó m,n thuộc R. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y=f(x) có đúng ba điểm cực trị
Cho hàm số : \(y=\frac{2x+3}{x+2}\) có đồ thị C
Cho đường thẳng d : y=-2x+m. Chứng minh rằng d cắt (C) tại 2 điểm A, B phân biệt với mọi số thực m. Gọi \(k_1,k_2\) lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại A và B. Tìm m để \(P=\left(k_1\right)^{2014}+\left(k_2\right)^{2014}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
1. Với m bằng bao nhiêu thì hàm số y = \(\dfrac{1}{3}x^3-\left(m+2\right)x^2+\left(m^2+4m+3\right)x+6m+9\) có cực đại và cực tiểu thỏa mãn hai điểm cực trị cách đều trục oy \
2. Cho hàm số y = f(x) = \(\dfrac{\left(m^2-4\right)}{3}x^3+\left(m+1\right)x^2+x+3\) , với m là tham số . Điều kiện cần và đủ để hàm số f(x) đạt cực đại tại x1 , đạt cực tiểu tại x2 đồng thời x1< x2
3. Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = ( x+1)4(x-2)5(x+3)3 . Số điểm cực trị của hàm số f(|x|) ?