Cho \(\Delta ABC\)cân tại A \(\left(\widehat{A}< 90^0\right)\);các đường cao BD; CE cắt nhau tại H.
a) Chứng minh: \(\Delta ABD=\Delta ACE\).
b) Chứng minh: \(\Delta BHC\)là tam giác cân.
c) So sánh HB và HD.
d) Trên tia đối của tia EH lấy điểm N sao cho NH < HC. Trên tia đối của tia DH láy ddiemr M sao cho MH = NH. Chứng minh các đường thẳng BN; AH; CM đồng quy.
Xin lỗi bạn nhé, câu cuối, mik chưa chắc chắn lắm đâu!
a, Xét \(\Delta ABDvà\Delta ACEcó:\\ \left\{{}\begin{matrix}\widehat{BDA}=\widehat{CEA}\left(=90^0\right)\\\widehat{BAC}làgócchung\\AB=AC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\Delta ABD=\Delta ACE\left(ch-gn\right)\)
b, Theo câu a , ta có :
\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\left(haigóctươngứng\right)\)
Lại có ;\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{ABC}-\widehat{ABD}=\widehat{ACB}-\widehat{ACE}\\ \Leftrightarrow\widehat{DBC}=\widehat{ECB}\\ \Rightarrow\Delta BHCcântạiH\)
c, Xét tam giác vuông DHC ta có :
HC > HD ( do HC là cạnh huyền )
Mà HC = HB ( tam giác BHC cân tại H )
\(\Rightarrow HB>HD\)
d, Gọi giao điểm của BN và CM là I.
Ta có ; \(HB=HC;MH=NH\Rightarrow HB+HM=HC+HN\\ \Leftrightarrow BM=CN\)
\(Xét\Delta BCMvà\Delta CBNcó:\\ \left\{{}\begin{matrix}BM=CN\left(cmt\right)\\\widehat{MBC}=\widehat{NCB}\left(cmt\right)\\BClàcạnhchung\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\Delta BCM=\Delta CBN\left(c-g-c\right)\\ \Rightarrow\widehat{NBC}=\widehat{MCB}\left(haigóctươngứng\right)\\ \Rightarrow\Delta BICcântạiI\)
Ta có :\(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\\HB=HC\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow A,HthuộcđườngtrungtrựccủaBC\\ \Rightarrow AHlàđườngtrungtrựccủaBC\)
Vì IB = IC nên I cũng thuộc đường trung trực của BC
\(\Rightarrow I\in AH\)
Mà \(I\in IB;I\in IC\)
\(\Rightarrow BN,AH,CMđồngquy\)