\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=-1;u_2=3\\u_n-5u_{n-1}+6u_{n-2}=2n^2+2n+1\end{matrix}\right.\)
Bài toán này sử dụng phương pháp sai phân tuyến tính cấp 2 thì rất nhanh, nhưng lớp 11 chưa học nên đành phân tích theo dạng dãy :(
Ta cần phân tích \(2n^2+2n+1\) về dạng:
\(an^2+bn+c-5\left[a\left(n-1\right)^2+b\left(n-1\right)+c\right]+6\left[a\left(n-2\right)^2+b\left(n-2\right)+c\right]\)
\(=2an^2+\left(2b-14a\right)n+19a-7b+2c\)
Đồng nhất đa thức trên với \(2n^2+2n+1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a=2\\2b-14a=2\\19a-7b+2c=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=8\\c=19\end{matrix}\right.\)
Đặt \(v_n=u_n-\left(n^2+8n+19\right)\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=-29;v_2=-36\\v_n-5v_{n-1}+6v_{n-2}=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow v_n-3v_{n-1}=2\left(v_{n-1}-3v_{n-2}\right)\)
Đặt \(v_n-3v_{n-1}=x_n\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=v_2-3v_1=21\\x_n=2x_{n-1}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x_n\) là cấp số nhân với công bội 2
\(\Rightarrow x_n=x_2.2^{n-2}=21.2^{n-2}\)
\(\Rightarrow v_n-3v_{n-1}=21.2^{n-2}\)
\(\Rightarrow v_n+\frac{21}{2}2^n=3\left(v_{n-1}+\frac{21}{2}2^{n-1}\right)\)
Đặt \(y_n=v_n+\frac{21}{2}.2^n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_1=-8\\y_n=3y_{n-1}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow y_n=-8.3^{n-1}\)
\(\Rightarrow v_n=y_n-\frac{21}{2}.2^n=-8.3^{n-1}-21.2^{n-1}\)
\(\Rightarrow u_n=v_n+\left(n^2+8n+19\right)=-8.3^{n-1}-21.2^{n-1}+n^2+8n+19\)
Bạn kiểm tra lại quá trình tính toán, sợ nhầm lẫn đâu đó
Căn bản ko biết bạn học tới đâu rồi nên làm kiểu tuần tự giống như người chưa học dãy số bao giờ.