Question

cho đa giác lồi n cạnh (\(n\in N\) , \(n\ge5\)). Lấy ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác. Biết rằng xác suất để 4 đỉnh lấy ra tạo thành một tứ giác có tất cả các cạnh đều là đường chéo của đa giác bằng \(\frac{30}{91}\). Hỏi đa giác có bao nhiêu cạnh.

Answer 1

Tất cả các cạnh của tứ giác là đường chéo khi 4 đỉnh đó ko có 2 đỉnh nào liền kề nhau.

Cố định một đỉnh, có n cách chọn

Chọn đỉnh thứ 2 cách đỉnh thứ nhất \(x_1\) đỉnh, đỉnh thứ 3 cách đỉnh 2 \(x_2\) ; đỉnh thứ 4 cách đỉnh thứ 3 \(x_3\) và cách đỉnh thứ nhất \(x_4\) đỉnh (với \(x_i\ge1\))

\(\Rightarrow x_1+x_2+x_3+x_4=n-4\)

Theo nguyên lý chia kẹo Euler, số nghiệm của pt trên là: \(C_{n-5}^3\)

Vậy số đa giác thỏa mãn là: \(\frac{nC_{n-5}^3}{4}\)

Xác suất: \(P=\frac{nC_{n-5}^3}{4C_n^4}=\frac{30}{91}\) \(\Rightarrow n=15\)