Question

Cho các số thực dương x,y,z. Tìm Min P=\(\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+2yz+xz}\)

Answer 1

Dự đoán điểm rơi y=z=k.x

Áp dụng AM-GM:

\(2ky^2+2kz^2\ge4kyz\)

\(y^2+k^2x^2\ge2kxy\)

\(z^2+k^2x^2\ge2kxz\)

Cộng các BĐT trên theo vế:\(2k^2x^2+\left(2k+1\right)y^2+\left(2k+1\right)z^2\ge2k\left(xy+2yz+xz\right)\)

Giờ ta chỉ việc tìm k sao cho \(2k^2=2k+1\),k >0 \(\Rightarrow k=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x^2+y^2+z^2}{xy+2yz+xz}\ge\dfrac{2k}{2k^2}=\dfrac{1}{k}=\dfrac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1\)

Dấu = xảy ra khi \(y=z=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}x\)