Question

Cho các số thực dương a, b, c thỏa
a^2+b^2+c^2=3 chứng minh (2a^2)/(a+b^2 )+(2b^2)/(b+c^2 )+(2c^2)/(c+a^2 )≥a+b+c

Answer 1

Cách khác:

Khi \(a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=3\), viết lại BĐT cần c/m

\(\dfrac{a^2}{a+b^2}+\dfrac{b^2}{b+c^2}+\dfrac{c^2}{c+a^2}\ge\dfrac{3}{2}\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a^2=x\\b^2=y\\c^2=z\end{matrix}\right.\Rightarrow x+y+z=3\) và lợi dụng BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:

\(VT=Σ\dfrac{x}{\sqrt{x}+y}=Σ\dfrac{x}{\sqrt{\dfrac{x\left(x+y+z\right)}{3}+y}}\)

\(=Σ\dfrac{6x}{2\sqrt{3x\left(x+y+z\right)}+6y}\geΣ\dfrac{6x}{3x+x+y+z+6y}\)

\(=Σ\dfrac{6x}{4x+7y+z}=Σ\dfrac{6x^2}{4x^2+7xy+xz}\ge\dfrac{6\left(x+y+z\right)^2}{Σ\left(4x^2+7xy+xz\right)}=\dfrac{3}{2}=VP\)

Answer 2

Mấy anh chị và mây thầy cô trả lời giúp e vs ạ...Nhanh nhanh vs ạ...Ngày mốt em thi Toán rồi ạ

Answer 3

cỡ này Câu hỏi của Neet - Toán lớp 9 | Học trực tuyến