\(P=mn\left[\left(mn+1\right)^2-\left(m+n\right)^2\right]\)
\(=mn\left(mn+1-m-n\right)\left(mn+1+m+n\right)\)
\(=mn\left(m-1\right)\left(n-1\right)\left(m+1\right)\left(n+1\right)\)
\(=\left(m-1\right)m\left(m+1\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)
Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)m\left(m+1\right)\\\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\end{matrix}\right.\) đều là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên đều chia hết cho 6
\(\Rightarrow P⋮36\)
Cho \(A=\left(\sqrt{m+\dfrac{2mn}{1-n^2}}+\sqrt{m-\dfrac{2mn}{1+n^2}}\right)\sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}}\) \(\left(m\ge0,n>1\right)\)
a, Rút gọn A
b, Tính A biết \(m=\sqrt{56+24\sqrt{5}}\)
c, Tìm GTNN của A
Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn điều kiện : xy+yz+zx=1. Tính:
\(A=x\sqrt{\dfrac{\left(y^2+1\right)\left(z^2+1\right)}{x^2+1}}+y\sqrt{\dfrac{\left(1+z^2\right)\left(1+x^2\right)}{1+y^2}}+z\sqrt{\dfrac{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}{1+z^2}}\)
Mn giúp e vs an, e đang cần gấp, cảm ơn mn nhiều lắm lắm
a) Chứng minh rằng: \(2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)< \dfrac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)
b/ Cho S =
Cho a, b, c là ba số hữu tỉ thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 1.
Chứng minh rằng \(\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}\) là một số hữu tỉ.
Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh:
\(\sqrt{x\left(1-x\right)}+\sqrt{y\left(1-y\right)}+\sqrt{z\left(1-z\right)}\le\sqrt{2}\)
Cho a,b ,c là các số thực thỏa mãn (a-b)(a-c)=1 b khác c. Chứng minh
\(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge4\)
Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn (x-y)(x-z)=1; y ≠ z.
Chứng minh rằng: \(\frac{1}{\left(x-y\right)^2}+\frac{1}{\left(y-z\right)^2}+\frac{1}{\left(z-x\right)^2}\ge4\)
cho 2 số a,b thỏa mãn a+b\(\ge\)0. Chứng minh rằng \(\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\left(a^5+b^5\right)\le4\left(a^9+b^9\right)\)
1.Rút gọn \(a+1=\sqrt[4]{\frac{3+2\sqrt{2}}{3-2\sqrt{2}}}-\sqrt[4]{\frac{3-2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}}}\)
2. cho a, b là các số thực thỏa mãn a+b=5, ab=1 tính \(a^3+b^3\)
3. cho m, n nguyên chứng minh mn(mn+1)\(^2\)-(m+n)\(^2\)mn chia hết cho 36
4. cho số thực x thỏa mãn \(0\le x\le1\) chứng minh \(x^2\le x\)
5. cho a, b, c là ba số thực không âm thỏa mãn a+b+c=1
Tìm GTNN của \(A=\sqrt{5a+4}+\sqrt{5b+4}+\sqrt{5c+4}\)