Question

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=6. Chứng minh rằng:

\(\frac{ab}{6+a-c}+\frac{bc}{6+b-a}+\frac{ca}{6+c-b}\le2\)

Answer 1

\(\frac{ab}{6+a-c}=\frac{ab}{a+b+c+a-c}=\frac{ab}{2a+b}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có:

\(\frac{ab}{2a+b}\le\frac{ab}{9}.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=\frac{2b+a}{9}\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(\frac{bc}{2b+c}\le\frac{bc}{9}.\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{2c+b}{9}\)

\(\frac{ca}{2c+a}\le\frac{ac}{9}.\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)=\frac{2a+c}{9}\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c

Cộng vế với vế của 3 BĐT trên ta có:

\(\frac{ab}{6+a-c}+\frac{bc}{6+b-a}+\frac{ac}{6+c-b}\)

\(=\frac{ab}{2a+b}+\frac{bc}{2b+c}+\frac{ca}{2c+a}\le\frac{3\left(a+b+c\right)}{9}=\frac{6}{3}=2\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=2