cho biểu thức P=\(\left(1-\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right):\left(\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}+\frac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}\right)\) với x≥0, x≠4, x≠9
1, rút gọn P. tính giá trị của P khi x=\(\sqrt{4+2\sqrt{3}}+\sqrt{7-4\sqrt{3}}\)
2, tìm tất cả các giá trị nguyên của x để P<0
3, tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị là số nguyên
4, tìm GTNN của P
1: Ta có: \(P=\left(1-\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right):\left(\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}+\frac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}\right)\)
\(=\left(\frac{1+\sqrt{x}-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right):\left(\frac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)-\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)+\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\right)\)
\(=\frac{1}{1+\sqrt{x}}:\frac{x-9-x+4+\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)
\(=\frac{1}{1+\sqrt{x}}:\frac{\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{x}+1}\cdot\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}{\sqrt{x}-1}\)
\(=\frac{x-5\sqrt{x}+6}{x-1}\)
Ta có: \(x=\sqrt{4+2\sqrt{3}}+\sqrt{7-4\sqrt{3}}\)
\(=\sqrt{1+2\cdot1\cdot\sqrt{3}+3}+\sqrt{3-2\cdot\sqrt{3}\cdot2+4}\)
\(=\sqrt{\left(1+\sqrt{3}\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{3}-2\right)^2}\)
\(=\left|1+\sqrt{3}\right|+\left|\sqrt{3}-2\right|\)
\(=1+\sqrt{3}+2-\sqrt{3}=3\)
Thay x=3 vào biểu thức \(P=\frac{x-5\sqrt{x}+6}{x-1}\), ta được:
\(P=\frac{3-5\cdot\sqrt{3}+6}{3-2}=\frac{9-5\sqrt{3}}{1}=9-5\sqrt{3}\)
Vậy: Khi x=3 thì giá trị của biểu thức P là \(9-5\sqrt{3}\)
2: Để P<0 thì \(\frac{x-5\sqrt{x}+6}{x-1}< 0\)
Trường hợp 1:
\(\left\{{}\begin{matrix}x-5\sqrt{x}+6>0\\x-1< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)>0\\x-1< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}-2>0\\\sqrt{x}-3>0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}-2< 0\\\sqrt{x}-3< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\\x< 1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}>2\\\sqrt{x}>3\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}< 2\\\sqrt{x}< 3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\\x< 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x>4\left(ktm\right)\\x>9\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x< 4\\x< 9\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\\x< 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x< 1\)
Vậy: Khi x<1 thì P<0