ĐKXĐ: \(x\ge0;x\ne1\)
\(K=\left(\frac{x+3\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}+\frac{\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}-\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\right).\left(\sqrt{x}-1\right)\)
\(=\left(\frac{x+3\sqrt{x}+\sqrt{x}-1-x-2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\right)\left(\sqrt{x}-1\right)\)
\(=\frac{\left(2\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}\)
\(K=\frac{2\left(\sqrt{x}+2\right)-5}{\sqrt{x}+2}=2-\frac{5}{\sqrt{x}+2}\)
\(\Rightarrow5⋮\left(\sqrt{x}+2\right)\) mà \(\sqrt{x}+2\ge2\Rightarrow\sqrt{x}+2=5\Rightarrow x=9\)
c/ \(\frac{5}{\sqrt{x}+2}>0\Rightarrow2-\frac{5}{\sqrt{x}+2}< 2\Rightarrow K< 2\)
d/ \(\sqrt{x}+2\ge2\Rightarrow2-\frac{5}{\sqrt{x}+2}\ge2-\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow K_{min}=-\frac{1}{2}\) khi \(x=0\)
e/ \(K=\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}\Leftrightarrow K\sqrt{x}+2K=2\sqrt{x}-1\)
\(\Leftrightarrow\left(K-2\right)\sqrt{x}=-2K-1\Rightarrow\sqrt{x}=\frac{2K+1}{2-K}\)
Mà \(\sqrt{x}\ge0\Rightarrow\frac{2K+1}{2-K}\ge0\Rightarrow-\frac{1}{2}\le K< 2\)
\(\Rightarrow K=\left\{0;1\right\}\)
- Với \(K=0\Rightarrow\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}=0\Rightarrow\sqrt{x}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{1}{4}\)
- Với \(K=1\Rightarrow\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}=1\Rightarrow2\sqrt{x}-1=\sqrt{x}+2\Rightarrow x=9\)