Question

Cho biểu thức A = (b²+c²-a²)-4b²c²

a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử.

b) Chứng minh rằng: Nếu a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác thì A<0.

Answer 1

Lời giải:

a)

\(A=(b^2+c^2-a^2)^2-4b^2c^2\)

\(=(b^2+c^2-a^2)-(2bc)^2=(b^2+c^2-a^2-2bc)(b^2+c^2-a^2+2bc)\)

\(=[(b-c)^2-a^2][(b+c)^2-a^2]\)

\(=(b-c-a)(b-c+a)(b+c-a)(b+c+a)\)

\(=-(a+c-b)(b+a-c)(b+c-a)(b+c+a)\)

b)

Nếu $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác thì:

$a+b+c>0$ và theo BĐT tam giác thì:

\(a+c> b, b+a> c, b+c>a\Rightarrow a+c-b>0; b+a-c>0; b+c-a>0\)

\(\Rightarrow (a+c-b)(b+a-c)(b+c-a)(a+b+c)>0\)

\(\Rightarrow A=-(a+c-b)(b+a-c)(b+c-a)(a+b+c)<0\)

Ta có đpcm.