Question

cho ba số thực a, b, c thỏa mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=9\\a^2+b^2+c^2=27\end{matrix}\right.\)

Tính giá trị biểu thức \(P=\left(a-2\right)^{2015}+\left(b-3\right)^{2016}+\left(c-4\right)^{2017}\)

Answer 1

Lời giải:

Có: \(\left\{\begin{matrix} a+b+c=9\\ a^2+b^2+c^2=27\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b+c)^2=81\\ a^2+b^2+c^2=27\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow (a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)=54\)

\(\Leftrightarrow 2(ab+bc+ac)=54\Leftrightarrow ab+bc+ac=27\)

Do đó: \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\)

\(\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2}=0(*)\)

Ta thấy: \((a-b)^2; (b-c)^2; (c-a)^2\geq 0\forall a,b,c\in\mathbb{R}\)

Suy ra \((*)\) xảy ra khi và chỉ khi

\((a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2=0\Leftrightarrow a=b=c\)

Khi đó: \(a=b=c=\frac{9}{3}=3\) (thỏa mãn)

\(P=(a-2)^{2015}+(b-3)^{2016}+(c-4)^{2017}=1^{2015}+0^{2016}+(-1)^{2017}\)

\(P=1+0+(-1)=0\)