Question

Cho ba số duong a, b, c thỏa mãn abc = 1. CMR:

\(\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}+\dfrac{1}{b^2+2c^2+3}+\dfrac{1}{c^2+2a^2+3}\le\dfrac{1}{2}\)

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(a^2+b^2\geq 2ab\)

\(b^2+1\geq 2b\)

Suy ra \(a^2+2b^2+3\geq 2(ab+b+1)\) \(\Rightarrow \frac{1}{a^2+2b^2+3}\leq \frac{1}{2(ab+b+1)}\)

Thực hiện toàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:

\(\text{VT}\leq \frac{1}{2}\underbrace{\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)}_{M}(1)\)

Lại có: \(M=\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=\frac{ac}{ab.ac+b.ac+ac}+\frac{a}{bc.a+c.a+a}+\frac{1}{ca+a+1}\)

\(=\frac{ac}{a+1+ac}+\frac{a}{1+ac+a}+\frac{1}{ac+a+1}=\frac{ac+a+1}{ac+a+1}=1(2)\)

Từ \((1); (2)\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{1}{2}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)