Question

cho a,b,c,x,y,z > 0 chứng minh rằng : \(\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}+\dfrac{z^2}{c}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\)

Answer 1

Lời giải:

Đặt $\frac{x}{a}=m; \frac{y}{b}=n; \frac{z}{c}=p$ với $m,n,p>0$.

BĐT cần chứng minh tương đương với:

(m^2a+n^2b+p^2c)(a+b+c)\geq (am+bn+cp)^2$

$\Leftrightarrow m^2(ab+ac)+n^2(ba+bc)+p^2(ca+cb)\geq 2abmn+2amcp+2bncp$

$\Leftrightarrow ab(m^2-2mn+n^2)+bc(n^2-2np+p^2)+ca(m^2-2mp+p^2)\geq 0$

$\Leftrightarrow ab(m-n)^2+bc(n-p)^2+ca(m-p)^2\geq 0$ 

(luôn đúng với $a,b,c>0$)

Ta có đpcm.