Question

Cho a+b+c=2 và ab+bc+ac=1. CM: \(0\le a,b,c\le\dfrac{4}{3}\)

Answer 1

Ta có \(a+b+c=2\Leftrightarrow b+c=2-a\).

Do đó \(1=ab+bc+ca=a\left(b+c\right)+bc=a\left(2-a\right)+bc\Leftrightarrow bc=a^2-2a+1\).

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

\(4bc\le\left(b+c\right)^2\Leftrightarrow4\left(a^2-2a+1\right)\le\left(2-a\right)^2\Leftrightarrow3a^2-4a\le0\Leftrightarrow a\left(3a-4\right)\le0\Leftrightarrow0\le a\le\dfrac{4}{3}\).

Tương tự với b, c. Ta có đpcm.