Áp đụng bất đẳng thức AM - GM, ta có:
\(\dfrac{a^3}{b}+ab\ge2a^2\)
\(\dfrac{b^3}{c}+bc\ge2b^2\)
\(\dfrac{c^3}{a}+ca\ge2c^2\)
Theo hệ quả của bất đẳng thức AM - GM thì:
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
Do đó, \(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge ab+bc+ac\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 0.
Cho \(a,b,c>0\) thỏa mãn \(ab+bc+ca=3\) . CMR : \(\sqrt[3]{\dfrac{a}{b\left(b+2c\right)}}+\sqrt[3]{\dfrac{b}{c\left(c+2a\right)}}+\sqrt[3]{\dfrac{c}{a\left(a+2b\right)}\ge\dfrac{3}{\sqrt[3]{3}}}\)
Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c\(\le\)3
CMR:\(\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+bc}+\dfrac{1}{1+ca}\ge\dfrac{3}{2}\)
(Sử dụng Cauchy)
Cho a;b;c > 0 và ab+bc+ca=abc. CMR :
\(\dfrac{a^4+b^4}{ab\left(a^3+b^3\right)}+\dfrac{b^4+c^4}{bc\left(b^3+c^3\right)}+\dfrac{c^4+a^4}{ca\left(c^3+a^3\right)}\ge1\)
Bài 1: Cho a,b,c là những số dương thỏa mãn: a+b+c=3
CMR: \(\dfrac{a^2}{a+2b^3}+\dfrac{b^2}{b+2c^3}+\dfrac{c^2}{c+2a^3}\ge1\)
Bài 2: Cho a, b, c thỏa mãn: ab+bc+ca=3
CMR: \(\dfrac{a}{2b^3+1}+\dfrac{b}{2c^3+1}+\dfrac{c}{2a^3+1}\ge1\)
Bài 3: Cho a, b, c > 0. CMR: \(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge a+3b\)
Dấu = xảy ra khi a=b=2c
Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c\(\le3\).
CMR : A= \(\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+bc}+\dfrac{1}{1+ca}\ge\dfrac{3}{2}\)
(Sử dụng Cauchy)
Cho a,b,c lớn hơn 0 CMR:
\(\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ca}+\dfrac{c^3}{ab}\)lớn hơn hoặc bằng a +b +c
1.Cho a,b,c > 0 cmr:\(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}+\dfrac{ab}{c}\ge a+b+c\)
Cho 3 số thực dương a;b;c. Chứng minh:
\(\dfrac{a^2+bc}{b+c}+\dfrac{b^2+ca}{c+a}+\dfrac{c^2+ab}{a+b}\ge a+b+c\)
Cho a,b,c > 0 . CMR :
\(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\ge a+b+c\)