a)Ta có: \(S_{ABC}=\dfrac{AH.BC}{2}\)
Vì ΔABC vuôgn tại A nên SABC = \(\dfrac{AB.AC}{2}\)
Do đó \(\dfrac{AB.BC}{2}=\dfrac{AH.BC}{2}\)
Vậy AB.AC = AH.AB
b) Xét ΔABC và ΔHBA, có:
\(\widehat{A}=\widehat{H}\left(90^o\right)\)
\(\widehat{B}:chung\)
Nên ΔABC ∼ ΔHBA (g.g)
=> \(\dfrac{AB}{BH}=\dfrac{BC}{AB}\) (tỉ số đồng dạng)
Vậy AB2 = BH.BC
c) Xét ΔABH và ΔCAH, có:
\(\widehat{BAH}=\widehat{ACH}\) (cùng phụ \(\widehat{CAH}\) )
\(\widehat{ABH}=\widehat{CAH}\) (cùng phụ \(\widehat{BAH}\) )
Suy ra ΔABH ~ ΔCAH(g.g)
=> \(\dfrac{AH}{CH}=\dfrac{BH}{AH}\)
Vậy (đpcm)
d) Xét ΔABH, có: AN = HN (gt) , BM = HM (gt)
⇒ MN là đường trung bình của ΔABH
⇒ MN // AB
Mà AB ⊥ AC
Nên MN ⊥ AC
Xét ΔACM, có:
AH ⊥ MC (gt), MN ⊥ AC (cmt)
\(AH\cap MN=\left\{N\right\}\)
Do đó N là trực tâm ΔACM
⇒ CN ⊥ AM (đpcm)