Question

Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn  \(a\ge1,b\ge2,c\ge3\) và a+b+c=9.

Tìm GTNN của biểu thức \(P=\sqrt{a-1}+\sqrt{b-2}+\sqrt{c-3}\)

Answer 1

Ta đặt:

     \(\left\{{}\begin{matrix}x=a-1\\y=b-2\\z=c-3\end{matrix}\right.\)

        \(\Rightarrow x+y+z=3\) và  \(x,y,z\ge0\) (*)

Biểu thứ P trở thành:

     \(P=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\)

Từ (*) dễ thấy:

     \(\left\{{}\begin{matrix}0\le x\le3\\0\le y\le3\\0\le z\le3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}0\le x\le\sqrt{3x}\\0\le y\le\sqrt{3y}\\0\le z\le\sqrt{3z}\end{matrix}\right.\)

Do đó:

     \(P\ge\dfrac{x+y+z}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\)

Dầu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(3;0;0\right)=\left(0;3;0\right)=\left(0;0;3\right)\)