Với điều kiện đề bài đã cho thì M có GTNN chứ không có GTLN nhé.
Nếu đề bài là $a,b,c$ không âm thì giải như sau:
Do $a,b,c\geq 0$ nên:
\(a^2+ab+b^2=(a+b)^2-ab\leq (a+b)^2\)
\(\Rightarrow \sqrt{a^2+ab+b^2}\leq a+b\)
Hoàn toàn tương tự:
\(\sqrt{b^2+bc+c^2}\leq b+c; \sqrt{c^2+ca+a^2}\leq c+a\)
Cộng theo vế:
$P\leq 2(a+b+c)=6$
Vậy $P_{\max}=6$
Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)=(3,0,0)$ và các hoán vị của nó.
Với các số thực không âm a,b,c thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=1\), tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(Q=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\)
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn: a + b + c = 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M=\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{b^2+bc+c^2}+\sqrt{c^2+ca+a^2}\).
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\).Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{c^2-ca+a^2}}\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\dfrac{1}{a\left(b^2+bc+c^2\right)}+\dfrac{1}{b\left(c^2+ca+a^2\right)}+\dfrac{1}{c\left(a^2+ab+b^2\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}\)
Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn \(a+b+c=2\). Yìm GTLN của biểu thức
\(P=\dfrac{ab}{\sqrt{ab+2c}}+\dfrac{bc}{\sqrt{bc+2a}}+\dfrac{ca}{\sqrt{ac+2b}}\)
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c =2020
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P=\(\sqrt{2a^2+ab+\sqrt{2b}^2}+\sqrt{2b^2+bc+2c^2}+\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\)
với a , b , c là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(Q=\sqrt{2a+bc}+\sqrt{2b+ca}+\sqrt{2c+ab}\)
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn ab+bc+ac=1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt[]{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}-a^2-28b^2-28c^2\)
cho a,b,c dương thỏa mãn \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3\). tìm GTLN của \(P=\dfrac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{c^2-ca+a^2}}\)