Cách 1: Từ a+b>2 => a > 2 - b
\(\Rightarrow a^2>\left(2-b\right)^2=b^2-4b+4\)
\(\Rightarrow a^2+b^2>2b^2-4b+4=2\left(b^2-2b+1\right)+2=2\left(b-1\right)^2+2\)
Vì \(\left(b-1\right)^2\ge0\) nên \(2\left(b-1\right)^2+2\ge2\)
Suy ra \(a^2+b^2>2\)
Cách 2:
Áp dụng BĐT Bunhia Copxki ta có:
\(\left(a+b\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2>2^2\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)>4\)
\(\Rightarrow a^2+b^2>2\)
Vì a + b > 2
\(\Rightarrow\) (a + b)\(^2\) > 2(a + b)
\(\Leftrightarrow\) a\(^2\) + 2ab + b\(^2\) > 2(a + b)
\(\Leftrightarrow\) a\(^2\) + b\(^2\) > 2(a + b) - 2ab (1)
Mà 2(a+b) - 2ab > 2 (2)
Từ (1) và (2), áp dụng tính chất bằng cầu, ta có:
a\(^2\) + b\(^2\)> 2