Question

Cho a,b dương thỏa mãn \(a^3+b^3=a^5+b^5.\) CMR : \(a^2+b^2\le1+ab\)

Answer 1

Ta có:

\(a^2+b^2\le1+ab\)

\(\left(a^2+b^2\right)\left(a^3+b^3\right)\le\left(1+ab\right)\left(a^5+b^5\right)\)

\(a^5+b^5+a^2b^3+a^3b^2\le a^5+b^5+a^6b+ab^6\)

\(a^2b^3+a^3b^2\le a^6b+ab^6\)

\(ab^2+a^2b\le a^5+b^5\)

\(ab^2+a^2b\le a^3+b^3\)

\(a\left(a^2-b^2\right)+b\left(b^2-a^2\right)\ge0\)

\(a\left(a^2-b^2\right)-b\left(a^2-b^2\right)\ge0\)

\(\left(a^2-b^2\right)\left(a-b\right)\ge0\)

\(\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(a-b\right)\ge0\)

\(\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)

Do a,b là số dương => a+b>0

(a-b)²\(\ge0\left(lđ\right)\)

=> ĐPCM