a) Xét ΔABD và ΔACE có
AB=AC(ΔABC cân tại A)
\(\widehat{BAD}\) chung
AD=AE(gt)
Do đó: ΔABD=ΔACE(c-g-c)
Suy ra: BD=CE(hai cạnh tương ứng)
b) Ta có:ΔABD=ΔACE(cmt)
nên \(\widehat{ADB}=\widehat{AEC}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{ADB}=90^0\)(BD\(\perp\)AC)
nên \(\widehat{AEC}=90^0\)
hay CE\(\perp\)AB tại E
Ta có: ΔABD=ΔACE(cmt)
nên \(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)(hai góc tương ứng)
hay \(\widehat{EBO}=\widehat{DCO}\)
Ta có: AE+EB=AB(E nằm giữa A và B)
AD+DC=AC(D nằm giữa A và C)
mà AE=AD(gt)
và AB=AC(ΔABC cân tại A)
nên EB=DC
Xét ΔEBO vuông tại E và ΔDCO vuông tại D có
EB=DC(cmt)
\(\widehat{EBO}=\widehat{DCO}\)(cmt)
Do đó: ΔEBO=ΔDCO(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)
Suy ra: OB=OC(hai cạnh tương ứng)
Xét ΔABO và ΔACO có
AB=AC(ΔABC cân tại A)
OB=OC(cmt)
AO chung
Do đó: ΔABO=ΔACO(c-c-c)
Suy ra: \(\widehat{BAO}=\widehat{CAO}\)(hai góc tương ứng)
mà tia AO nằm giữa hai tia AB,AC
nên AO là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)
c) Xét ΔABD vuông tại D có \(\widehat{BAD}=45^0\)(gt)
nên ΔABD vuông cân tại D(Dấu hiệu tam giác vuông cân)
Suy ra: DA=DB(hai cạnh bên)
Áp dụng định lí Pytago vào ΔABD vuông tại D, ta được:
\(AB^2=BD^2+AD^2\)
\(\Leftrightarrow AB^2=2\cdot BD^2\)
mà AB=AC(ΔABC cân tại A)
nên \(AC^2=2\cdot BD^2\)(đpcm)
). Kẻ BD vuông góc AC, CE vuông góc AB (D thuộc cạnh AC, E thuộc cạnh AB).