Question

Cho a và b là các số tự nhiên thỏa mãn 2a²+a=3b²+b

Chứng minh rằng : a-b và 3a+3b+1 là số chính phương/

Answer 1

Lời giải:

Ta có \(2a^2+a=3b^2+b\)

\(\Leftrightarrow 3a^2+a=3b^2+b+a^2\)

\(\Leftrightarrow 3(a^2-b^2)+(a-b)=a^2\)

\(\Leftrightarrow (a-b)(3a+3b+1)=a^2\)

Gọi ƯCLN \((a-b, 3a+3b+1)=t\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-b\vdots t\rightarrow 3a-3b\vdots t\\ 3a+3b+1\vdots t\end{matrix}\right.\) (*)

Cộng hai vế suy ra \(6a+1\vdots t\) (1)

Mặt khác từ (*) suy ra \(\Rightarrow a^2=(a-b)(3a+3b+1)\vdots t^2\)

\(\Rightarrow a\vdots t\) (2)

Từ (1);(2) suy ra \(1\vdots t\Leftrightarrow t=1\)

Do đó $a-b,3a+3b+1$ nguyên tố cùng nhau

Mà tích hai số là số chính phương nên bản thân mỗi số đó là một số chính phương.

Ta có đpcm.